1+2+3+4+5+..........∞ = -1/12 How! কিভাবে! অসম্ভবও সম্ভব করে দেখালাম!

কি!  টাইটেল দেখে চমকে গেলেন তো! আমরা পরপর 1+2+3+.......∞ ধনাত্মক সংখ্যার যোগ করেই যাচ্ছি, আর অবশেষে কিনা ফলাফল পাচ্ছি একটি ঋণাত্মক সংখ্যা!  হুম,  আমিও প্রথমবার দেখে চমকে গিয়েছিলাম। কিন্তু চমকে গেলেও এটাই সত্য এবং গাণিতিক ভাবে প্রমাণিত। আজকের এই পোস্টে আমি সেই প্রমাণটিই তুলে ধরবো।কিন্তু তার আগে এই প্রমাণটির একটু ইতিহাসে না গেলেই নয়।

সাল 1903,  ভারতের বিখ্যাত গণিতবিদ “Srinivasa  Ramanujan” ইংল্যান্ডের বিখ্যাত পন্ডিত ও গণিতবিদ “G.H. Hardy (Godfrey Harold Hardy)” এর নিকট একটি পত্র লিখেছিলেন। যে পত্রটিতে ছিল অনেক অনেক গাণিতিক থিওরি ও ফর্মুলা। সেই পত্রটিরই একস্থলে Ramanujan লিখেছিলেন, 1+2+3+...= -1/12! তবে তিনি এই সমীকরণটি লিখলেও এর কোনো প্রমাণ তিনি দেননি সেই পাত্রটিতে।  পরবর্তীতে এ বিষয়ে তাকে প্রশ্ন করা হলে  তিনি বলেন "এটা তো আমি জানি" , " আমি এমনিতেই জানি"। অর্থাৎ আমরা যেমন জানি, 1+1=2 , এটা বিশ্বাস করতে আমাদের কোনো প্রমাণের প্রয়োজন নেই, এটা কেউ প্রমাণ করলেও সত্য না করলেও সত্য। এটা আমরা নির্দ্বিধায় বিশ্বাস করি। তেমনি Ramanujan  এটা জানেন  যে, 1+2+3+...= -1/12। কেমনে জানেন, কিভাবে জানেন  সে উত্তর তিনি দিতে পারেননি।তবে এটি পরবর্তীতে গণিতবিদরা প্রমাণ করতে  সফল হন।

দুঃখিত বন্ধুরা!  আমার বকবক একটু বেশিই হয়ে যাচ্ছে। সেজন্য আর কথা না বাড়িয়ে সরাসরি আমরা এগিয়ে যাব  প্রমাণের দিকে।

ধরি,

 S1= 1-1+1-1+ 1-1+1-1+1-1+..........................∞

বা,S1= (1-1)+(1-1)+ (1-1)+(1-1)+(1-1)+..........∞

বা, S1= 0+0+0+0+0+0+0+0+0+0+...................∞
∴S1= 0

আবার,
S1= 1-1+1-1+ 1-1+1-1+1-1+...........∞
বা, S1= 1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+...........∞
বা,  S1= 1+0+0+0+0+0+0+0+0+0+0+0+............∞
∴S1= 1

এখানে আমরা S1এর 0 ও 1 দুটি ভিন্ন ভিন্ন মান পাচ্ছি। সেহেতু আমরা গণিতের নিয়ম অনুযায়ী দুটি মানের গড় মান,  (0+1)/2= ½  মানটিই নিবো।

∴S1S₁

= ½

আবার ধরি,

S2= 1-2+3-4+5-6+7-8+...............................

S2= 0+1-2+3-4+5-6+7-8+...............................∞

2S2(যোগ করে)= 1-1+1-1+ 1-1+1-1+1-1+.............∞

বা, 2S2=S1

1সমীকরণ-1  হতে  পাই]বা, 2S2= ½ [সমীকরণ-2  হতে  পাই]

∴ S2= ¼ 

আবার ধরি,

S 3= 1+2+3+4+5+6+.....................∞

S 2= 1-2+3-4+5-6+........................∞

∴S 3-S 2(বিয়োগ করে)= 4+8+12+16+......∞

 বা, S3-¼=4(1+2+3+4+....) [যেহেতু, S2= ¼]

বা,S3-¼=4S3 [যেহেতু, S3=1+2+3+......∞]

বা , -¼=3S3
বা, 3S3= -¼
বা, S3= -1/12
∴1+2+3+4+5+6................∞= -1/12

দেখলেন তো!  কিভাবে অসম্ভবকে সম্ভব করে দিলো গণিত! আমরা পরপর ধনাত্মক  সংখ্যা যোগ  করেই যাচ্ছি, আর অবশেষে কিনা ফলাফল এল ঋণাত্মক সংখ্যা!  আর এটা কিন্তু একদম সত্য  ও সঠিক!  এমনকি এই মানটি “String Theory” ও “Quantum Mechanics” এ অনেক বেশি ব্যবহার করা হয়েছে। আর, এ মানটির ব্যবহার ছাড়া এ দুটি শাখার অনেক থিওরি  ও ফর্মুলায় প্রমাণ করা সম্ভব হবে না!  তো বন্ধুরা,  আমরা আমাদের পোস্টের একদম শেষ পর্যায়ে চলে এসেছি।  আজ এ পর্যন্তই।  আমাদের পোষ্ট গুলো ভাল লাগলে কমেন্ট ও শেয়ার করতে ভুলবেন না কিন্তু!

তথ্যসূত্র- কিশোর বিজ্ঞান সাময়িকী:ব্যাপন[সেপ্টেম্বর- অক্টোবর`20]-
(33-34 পৃষ্ঠা),https://youtu.be/jcKRGpMiVTw

Tags:

Ramanujan

Ramanujan series

Srinivasa Ramanujan

fun with mathfun math gamesfun math games for kidsfun math problemsfun math worksheetsfun multiplication worksheetsfun maths activitiesfun math games to play in the classroom